Binärrechner

Dezimal in Binär umrechnen und binäre Arithmetik durchführen

Binärrechner

Zwischen Dezimal und Binär konvertieren

Dezimal zu Binär

Gib eine dezimale Ganzzahl ein

Formel
Wiederholt durch 2 dividieren und Reste von unten nach oben lesen

Was ist ein Binärrechner?

Ein Binärrechner ist ein Werkzeug zum Arbeiten mit Binärzahlen, also Zahlen, die nur mit zwei Ziffern geschrieben werden: 0 und 1. Binär ist das grundlegende Zahlensystem, das Computer verwenden, weil digitale Schaltkreise von Natur aus zwei Zustände darstellen (aus/an, niedrig/hoch, 0/1).

Binärzahlen folgen demselben Stellenwertkonzept wie Dezimalzahlen, aber statt Potenzen von 10 verwendet Binär Potenzen von 2. Zum Beispiel bedeutet die Binärzahl 1011₂: 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 0 + 2 + 1 = 11 in Dezimal.

Dieser Rechner Unterstützt Mehrere Konvertierungen

  • Dezimal → Binär -- Basis-10-Zahlen in Basis-2 konvertieren
  • Dezimal → Oktal -- Basis-10-Zahlen in Basis-8 konvertieren
  • Dezimal → Hexadezimal -- Basis-10-Zahlen in Basis-16 konvertieren

Binärrechner sind nützlich zum Konvertieren zwischen Zahlensystemen, zum Verstehen von Informatikthemen wie Bits, Bytes und Datendarstellung sowie zum Arbeiten mit Hexadezimal (Basis 16), das häufig zur kompakten Darstellung von Binär verwendet wird.

So verwendest du diesen Binärrechner

  1. Gib eine Dezimalzahl ein -- tippe eine beliebige Ganzzahl in das Eingabefeld (z. B. 255)
  2. Klicke auf „Berechnen' -- um die Zahl zu konvertieren
  3. Prüfe alle drei Ausgaben -- das Ergebnis zeigt gleichzeitig die Binär- (Basis 2), Oktal- (Basis 8) und Hexadezimaldarstellung (Basis 16)
  4. Probiere andere Werte aus -- erkunde Potenzen von 2, gängige Byte-Werte (128, 255, 256) oder jede Zahl, die du konvertieren möchtest

Tipps:

  • Eine gültige Binärzahl enthält nur 0 und 1 (keine Ziffern 2 bis 9)
  • Führende Nullen (wie 00101) ändern den Wert nicht, können aber nützlich sein, um Formate mit fester Bitlänge darzustellen
  • Hexadezimal verwendet die Ziffern 0–9 und die Buchstaben A–F (wobei A=10, B=11, …, F=15)

Binärformeln

Binärer Stellenwert

Eine Binärzahl hat Stellen (Bits) mit Stellenwerten basierend auf Potenzen von 2:

2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴, …

For binary number bₖbₖ₋₁…b₁b₀, the decimal value is:

value = Σ bᵢ × 2ⁱ (i = 0 to k)

wobei jedes bᵢ entweder 0 oder 1 ist

Dezimal in Binär Umwandeln

Wiederholt durch 2 dividieren und Reste notieren:

  1. Die Zahl durch 2 dividieren
  2. Den Rest (0 oder 1) notieren
  3. Den Quotienten durch 2 dividieren und wiederholen, bis der Quotient 0 ist
  4. Die Reste von unten nach oben lesen

Regeln der Binäraddition

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10

0 carry 1

Berechnungsbeispiele

Beispiel 1: Binär in Dezimal konvertieren

Konvertieren: 1011₂ nach Dezimal

Berechnung: 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 0 + 2 + 1

Ergebnis: 1011₂ = 11₁₀

Beispiel 2: Dezimal in Binär konvertieren

Konvertieren: 13₁₀ nach Binär

Schritte:

  • 13 ÷ 2 = 6 Rest 1
  • 6 ÷ 2 = 3 Rest 0
  • 3 ÷ 2 = 1 Rest 1
  • 1 ÷ 2 = 0 Rest 1

Von unten nach oben lesen: 1101

Ergebnis: 13₁₀ = 1101₂

Beispiel 3: Binäraddition

Addieren: 1011₂ + 0101₂

Berechnung: 1011 + 0101 = 10000

Prüfen: 11 + 5 = 16 in Dezimal

Ergebnis: 1011₂ + 0101₂ = 10000₂

Beispiel 4: Binärmultiplikation

Multiplizieren: 101₂ × 11₂

In Dezimal: 5 × 3 = 15

15 in Binär: 1111₂

Ergebnis: 101₂ × 11₂ = 1111₂

Häufig gestellte Fragen

Warum verwenden Computer Binär statt Dezimal?

Computer werden aus elektronischen Komponenten gebaut, die von Natur aus zwei Zustände darstellen (an/aus). Binär passt perfekt dazu und macht es zuverlässig und effizient für das Hardware-Design.

Was ist ein Bit und ein Byte?

Ein Bit ist eine einzelne Binärziffer (0 oder 1). Ein Byte ist typischerweise 8 Bits, das 256 verschiedene Werte darstellen kann (0–255).

Was ist der Unterschied zwischen Binär und Hexadezimal?

Hexadezimal (Basis 16) ist eine kompakte Art, Binär zu schreiben. Je 4 Binärbits entsprechen einer Hexadezimalziffer (0–9 und A–F). Zum Beispiel ist 1111₂ = F₁₆.

Können Binärzahlen negative Werte darstellen?

Ja. Computer verwenden oft Formate wie das Zweierkomplement, um negative Zahlen in Binär darzustellen. Einige Binärrechner unterstützen dies, aber viele grundlegende Tools konzentrieren sich auf nicht-negative Ganzzahlen.

Warum sehen Binärergebnisse manchmal „lang' aus?

Da Binär nur 0 und 1 verwendet, braucht es mehr Stellen, um große Zahlen darzustellen. Zum Beispiel ist 255₁₀ gleich 11111111₂, was 8 Bits lang ist.

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Was ist das Binärzahlensystem?

Binär ist das Zahlensystem zur Basis 2, das nur zwei Ziffern verwendet: 0 und 1. Jede digitale Information — Text, Bilder, Video, Programme — wird letztlich als Folge von Binärziffern (Bits) gespeichert. Das Verständnis des Binärsystems ist grundlegend für Informatik und digitale Elektronik. Auf Hardwareebene entsprechen 0 und 1 direkt den Zuständen aus und ein von Transistoren, was Binär zur Muttersprache jedes je gebauten Prozessors macht.

Dieser Rechner wandelt zwischen Dezimal (dem alltäglichen Zehnersystem) und Binär um und kann binäre Addition und Subtraktion durchführen. Er zeigt auch die Äquivalente in Oktal (Basis 8) und Hexadezimal (Basis 16), damit du sehen kannst, wie derselbe Wert in den in der Informatik und Programmierung gebräuchlichsten Zahlensystemen aussieht.

So verwendest du den Binärrechner

  1. Gib eine Dezimalzahl ein, um sie in Binär umzurechnen, oder eine Binärzahl (nur Ziffern 0 und 1), um sie in Dezimal umzurechnen.
  2. Wähle die Umrechnungsrichtung: Dezimal → Binär oder Binär → Dezimal.
  3. Klicke auf Berechnen, um das Ergebnis zu sehen.
  4. Lies das Binärergebnis zusammen mit den darunter angezeigten Oktal- und Hexadezimaläquivalenten ab.

Umrechnungsformeln

Dezimal zu Binär: durch 2 dividieren, Reste sammeln (LSB zuerst) Beispiel: 13 ÷ 2 = 6 R1, 6 ÷ 2 = 3 R0, 3 ÷ 2 = 1 R1, 1 ÷ 2 = 0 R1 Reste von unten nach oben lesen: 13₁₀ = 1101₂ Binär zu Dezimal: jeden Bit mit 2^Stelle multiplizieren 1101₂ = 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 8+4+0+1 = 13 Binäre Addition: 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=10 (Übertrag 1)

Bits werden von rechts nach links ab 0 nummeriert. Das ganz linke Bit ist das höchstwertige Bit (MSB); das ganz rechte ist das niederwertigste Bit (LSB).

Gelöste Beispiele

42₁₀ = 101010₂

Teile 42 wiederholt durch 2: 42→21 R0, 21→10 R1, 10→5 R0, 5→2 R1, 2→1 R0, 1→0 R1. Die Reste von unten nach oben gelesen ergeben 101010. Probe: 32+8+2 = 42.

11111111₂ = 255₁₀ (maximaler 8-Bit-Wert)

Acht Bits mit 1 = 128+64+32+16+8+4+2+1 = 255. Das ist der maximale Wert, den ein vorzeichenloses 8-Bit-Byte speichern kann, weshalb IP-Adressoktette von 0 bis 255 reichen.

1010₂ + 0110₂ = 10000₂ (binäre Addition: 10 + 6 = 16)

Spaltenweise von rechts nach links addieren: 0+0=0, 1+1=10 (schreibe 0, Übertrag 1), 0+1+1=10 (schreibe 0, Übertrag 1), 1+0+1=10 (schreibe 0, Übertrag 1). Das übertragene 1 wird das führende Bit: Ergebnis 10000₂ = 16₁₀.

Häufig gestellte Fragen

Warum verwenden Computer Binär statt Dezimal?▾
Transistoren — die Grundbausteine aller Prozessoren und Speicher — sind Schalter, die in einem von zwei Zuständen existieren: vollständig ein oder vollständig aus. Diese zwei Zustände als 1 und 0 darzustellen ist der einfachste und zuverlässigste Ansatz. Mehr als zwei Zustände zu verwenden würde analoge Präzision erfordern und wäre viel anfälliger für elektrisches Rauschen und Fertigungsschwankungen.
Wie viele Werte können n Bits speichern?▾
Mit n Bits kannst du 2ⁿ verschiedene Werte darstellen. Zum Beispiel: 1 Bit = 2 Werte (0–1), 8 Bit = 256 Werte (0–255), 16 Bit = 65.536 Werte, 32 Bit = ~4,3 Milliarden Werte und 64 Bit = über 18 Trillionen Werte. Bei vorzeichenbehafteten Ganzzahlen ist die Hälfte des Bereichs negativ: eine vorzeichenbehaftete 8-Bit-Ganzzahl reicht von −128 bis +127.
Was ist ein Byte?▾
Ein Byte ist eine Gruppe von 8 Bits und die Standardeinheit des digitalen Speichers. Ein Byte kann 256 verschiedene Werte darstellen (0–255 ohne Vorzeichen). Dateigrößen, RAM und Speicherkapazitäten werden alle in Bytes und ihren Vielfachen gemessen: Kilobyte (KB), Megabyte (MB), Gigabyte (GB), Terabyte (TB) und so weiter.
Was ist der Unterschied zwischen Binär und Hexadezimal?▾
Binär (Basis 2) verwendet die Ziffern 0–1; Hexadezimal (Basis 16) verwendet die Ziffern 0–9 und die Buchstaben A–F. Da 16 = 2⁴, entspricht jede Hex-Ziffer genau 4 Binärbits. Das macht Hex zu einer kompakten Kurzschrift für Binär: die Binärfolge 11111111 ist in Hex einfach FF, was in Code, Speicheradressen und Farbwerten viel einfacher zu lesen und zu schreiben ist.
Was ist der Unterschied zwischen vorzeichenbehaftetem und vorzeichenlosem Binär?▾
Vorzeichenloses Binär behandelt alle Bits als Betrag, daher reicht eine vorzeichenlose 8-Bit-Zahl von 0 bis 255. Vorzeichenbehaftetes Binär reserviert das höchstwertige Bit (MSB) als Vorzeichenindikator: 0 bedeutet positiv, 1 bedeutet negativ. Die gebräuchlichste vorzeichenbehaftete Kodierung ist das Zweierkomplement, bei dem eine vorzeichenbehaftete 8-Bit-Ganzzahl von −128 bis +127 reicht. Die meisten Programmiersprachen ermöglichen die Wahl zwischen vorzeichenbehafteten und vorzeichenlosen Ganzzahltypen.