Fakultätsrechner
Berechne n! für jede nicht-negative ganze Zahl — sofort
Factorial Calculator
Calculate n! for any non-negative integer
Compute the factorial of a number (n!)
n! = n x (n-1) x (n-2) x ... x 2 x 1What is a Factorial Calculator?
A Factorial Calculator is a math tool that computes the factorial of a number, written as n! (pronounced "n factorial"). The factorial operation multiplies a whole number by every whole number below it down to 1. For example, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
Factorials are extremely common in probability, statistics, algebra, and combinatorics. They help answer questions like "How many ways can I arrange these items?" or "How many different combinations are possible?" That's why factorials appear in formulas for permutations (arrangements) and combinations (selections).
Because factorial values grow very fast (even 20! is already a huge number), a calculator is the easiest way to get accurate results instantly without manual multiplication errors.
How to Use This Factorial Calculator
- Enter a number (n) -- Typically a non-negative whole number (0, 1, 2, 3, ...)
- Click "Calculate" -- The calculator computes n!
- Review the result -- The output is the factorial value
- Try other values -- Factorials grow quickly, so test small and large numbers to see the pattern
Tips:
- 0! equals 1 (this is a standard math rule)
- Factorials are usually defined for whole numbers. If you enter a negative number, it's typically invalid
- Large factorials may be displayed with commas or in scientific notation depending on the page formatting
Formulas
Factorial Definition (for non-negative integers)
n! = n × (n − 1) × (n − 2) × … × 3 × 2 × 1
1! = 1
2! = 2 × 1 = 2
3! = 3 × 2 × 1 = 6
Special Case
Rule: 0! = 1
This is defined by convention to keep formulas consistent
Recursive Form
Rule: n! = n × (n − 1)! for n ≥ 1
Example: 6! = 6 × 5!
Where Factorials Are Commonly Used
- Permutations: nPr = n! / (n − r)!
- Combinations: nCr = n! / (r! × (n − r)!)
Example Calculations
Example 1: Compute 5!
Calculation: 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 20 × 3 × 2 × 1 = 60 × 2 × 1 = 120
Result: 120
Example 2: Compute 0!
Rule: By definition, 0! = 1
Result: 1
Example 3: Compute 8!
Calculation: 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 40,320
Result: 40,320
Example 4: Use factorials to compute a combination (10 choose 3)
Formula: 10C3 = 10! / (3! × 7!)
Calculation: (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) = 720 / 6 = 120
Result: 120 ways
Frequently Asked Questions
What does "n!" mean?
"n!" means factorial. It's the product of all whole numbers from n down to 1. For example, 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.
Why is 0! equal to 1?
It's defined that way to keep math formulas consistent—especially in combinations and permutations. For example, the formula for combinations would break in common edge cases if 0! were not equal to 1.
Can I calculate the factorial of a negative number?
Factorials are not defined for negative integers in standard arithmetic. Most factorial calculators will reject negative inputs or return an error.
Why do factorial numbers get so large so quickly?
Factorials grow by repeated multiplication. Each step multiplies by a larger number (e.g., 10! is 10 times bigger than 9!). That rapid growth is why factorials become huge even for moderately sized inputs.
What's the difference between permutations and combinations?
Permutations count arrangements where order matters (ABC is different from ACB). Combinations count selections where order does not matter (ABC is the same group as ACB). Both formulas rely on factorials.
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Was ist eine Fakultät?
Die Fakultät einer nicht-negativen ganzen Zahl n, geschrieben n!, ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von 1 bis n. Zum Beispiel: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Fakultäten tauchen überall in der Mathematik auf — in Abzählproblemen, der Wahrscheinlichkeitsrechnung, der Kombinatorik (Kombinationen und Permutationen), der Analysis (Taylor-Reihen) und dem Binomischen Lehrsatz. Wenn du dich jemals gefragt hast, auf wie viele Arten du eine Menge von Objekten anordnen kannst, steckt fast immer eine Fakultät dahinter.
Fakultäten wachsen astronomisch schnell — 20! = 2.432.902.008.176.640.000. Selbst bescheidene Eingaben erzeugen riesige Zahlen, weshalb eine genaue Berechnung sorgfältige Handhabung erfordert. Dieser Rechner verarbeitet große ganze Zahlen präzise und zeigt exakte Werte für praktische Eingaben sowie gut gerundete Näherungen (mit der Stirling-Formel) für sehr große n, wo eine exakte Berechnung unpraktikabel wird.
So verwendest du den Fakultätsrechner
- Gib eine beliebige nicht-negative ganze Zahl n in das Eingabefeld ein.
- Klicke auf Berechnen (oder drücke Enter), um das Ergebnis zu berechnen.
- Lies den exakten Fakultätswert ab, der unter dem Eingabefeld angezeigt wird.
- Verwende das Ergebnis in der Permutationsformel P(n,r) = n! / (n−r)! oder in der Kombinationsformel C(n,r) = n! / (r! × (n−r)!) nach Bedarf.
Fakultätsformel und Referenztabelle
Definition: n! = n x (n-1) x (n-2) x ... x 2 x 1
Rekursiv: n! = n x (n-1)!, mit 0! = 1
Sonderfaelle:
0! = 1 (per Definition)
1! = 1
2! = 2
5! = 120
10! = 3.628.800
20! = 2.432.902.008.176.640.000
Kombinationen: C(n,r) = n! / (r! x (n-r)!)
Permutationen: P(n,r) = n! / (n-r)!0! = 1 ist eine Konvention, die dafür sorgt, dass die Formeln für Kombinationen und Permutationen in Grenzfällen korrekt funktionieren — zum Beispiel beim Auswählen von 0 oder von n Elementen aus n. Ohne diese Konvention würden die Formeln an ihren Grenzen versagen.
Durchgerechnete Beispiele
6! = 720 — 6 Personen in einer Reihe anordnen
Wenn du 6 Personen auf 6 Stühlen in einer Reihe platzieren möchtest, beträgt die Anzahl der verschiedenen Anordnungen 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720. Jede Position hat eine Auswahlmöglichkeit weniger als die vorherige, sodass sich das Produkt bis auf 1 verringert.
C(10, 3) = 120 — 3 aus 10 auswählen
Um herauszufinden, auf wie viele Arten du ein 3-köpfiges Komitee aus einer Gruppe von 10 Personen bilden kannst, verwende C(10, 3) = 10! / (3! × 7!) = 3.628.800 / (6 × 5.040) = 120. Bei Kombinationen spielt die Reihenfolge keine Rolle.
15! = 1.307.674.368.000
15! = 1.307.674.368.000 — über 1,3 Billionen. Das zeigt anschaulich, wie schnell Fakultäten wachsen. Ein Passwortsystem mit 15 eindeutigen Zeichen hat mehr als eine Billion möglicher Anordnungen, was Brute-Force-Angriffe rechnerisch sehr aufwendig macht.