Logarithmusrechner
Berechne Log, ln und Logarithmen in beliebiger Basis — einschließlich Antilogarithmus
Logarithm Calculator
Calculate logarithms with any base
Calculate log base b of x
log_b(x) = ln(x) / ln(b)What is a Logarithm Calculator?
A Logarithm Calculator is a math tool that computes logarithms, which answer the question: "What power do I raise a base to in order to get a number?" For example, if 10³ = 1000, then log₁₀(1000) = 3. The logarithm tells you the exponent (power) needed to turn 10 into 1000.
Logarithms are widely used in math and science because they help work with very large or very small numbers, convert multiplication into addition, and model real-world growth and decay. They appear in fields like chemistry (pH), finance (compound growth), engineering, computer science, and statistics.
This calculator computes all three major types of logarithms simultaneously:
Supported Logarithm Types
- Common logarithm (base 10) -- log₁₀(x), often written as log(x)
- Natural logarithm (base e) -- ln(x), where e ≈ 2.71828
- Custom base logarithm -- log₂(x) -- enter any valid base b to compute log_b(x)
How to Use This Logarithm Calculator
- Enter the number (x) -- the value you want to take the logarithm of
- Enter the base (b) -- defaults to 10, but you can change it to any valid base (e.g., 2, e, 5)
- Click "Calculate" -- to compute the logarithm
- Review all three results -- the calculator shows log_b(x), ln(x), and log₁₀(x) simultaneously
- Use the result -- apply it in your equation, problem, or real-world calculation
Tips:
- For real-number results, the input x must be greater than 0
- The base b must be greater than 0 and b ≠ 1
- If your result looks unexpected, double-check whether you need log (base 10) vs ln (base e)
Logarithm Formulas
Definition of a Logarithm
log_b(x) = y means bʸ = x
The logarithm returns the exponent y that makes bʸ equal to x
Common Logarithm
log₁₀(x)
Base 10, often written as log(x)
Natural Logarithm
ln(x)
Base e, where e ≈ 2.71828
Change of Base Formula
Compute any base using log base 10 or ln:
log_b(x) = ln(x) / ln(b) = log₁₀(x) / log₁₀(b)
Convert between any bases using this identity
Useful Logarithm Rules
Product Rule
log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y)
Quotient Rule
log_b(x/y) = log_b(x) − log_b(y)
Power Rule
log_b(xᵏ) = k × log_b(x)
Log of 1 / Log of Base
log_b(1) = 0
log_b(b) = 1
Example Calculations
Example 1: Common Log (Base 10)
Compute: log₁₀(1000)
Reasoning: 10³ = 1000
Result: 3
Example 2: Natural Log (Base e)
Compute: ln(e²)
Reasoning: ln returns the exponent when the base is e
Result: 2
Example 3: Custom Base Log
Compute: log₂(32)
Reasoning: 2⁵ = 32
Result: 5
Example 4: Using the Change of Base Formula
Compute: log₅(125)
Direct reasoning: 5³ = 125, so log₅(125) = 3
Change of base: ln(125) / ln(5) = 4.8283 / 1.6094 = 3
Result: 3
Frequently Asked Questions
What's the difference between log and ln?
log(x) usually means base 10 (common log), while ln(x) means base e (natural log). They're both logarithms—just with different bases.
Why can't I take the logarithm of 0 or a negative number?
In real-number math, log values are only defined for x > 0. There is no real exponent that makes a positive base equal 0 or a negative number.
What base values are allowed?
The base must be greater than 0 and not equal to 1. A base of 1 would always equal 1 for any exponent, so it can't produce different outputs.
What does a logarithm output represent?
The output is the exponent. If log_b(x) = y, then bʸ = x. That's the core meaning of logarithms.
When are logarithms useful in real life?
Logs are used when quantities change multiplicatively or span wide ranges: pH in chemistry, earthquake magnitude scales, sound intensity (decibels), compound growth/interest, and many scientific models.
Want to add this logarithm calculator to your website? Get a custom embed code that matches your site's design and keeps visitors engaged.
Was ist ein Logarithmus?
Ein Logarithmus beantwortet die Frage: auf welche Potenz müssen wir die Basis erheben, um diese Zahl zu erhalten? Zum Beispiel ist log₁₀(1000) = 3, weil 10³ = 1000. Logarithmen wandeln Multiplikation in Addition um und machen sehr große oder sehr kleine Berechnungen handhabbar. Sie treten in Wissenschaft, Technik, Musik und Informatik auf — überall dort, wo man mit Zahlen über viele Größenordnungen hinweg arbeitet.
Die zwei häufigsten Logarithmen sind der Log zur Basis 10 (einfach als „Log“ geschrieben) und der natürliche Logarithmus (Basis e ≈ 2,71828, geschrieben als „ln“). Dieser Rechner unterstützt jede Basis — einschließlich log₂, der in der Informatik für Bits und Informationsmaße unverzichtbar ist. Auch Antilogarithmen können berechnet werden, die den Vorgang umkehren.
So verwendest du den Logarithmusrechner
- Gib die Zahl ein, von der du den Logarithmus berechnen möchtest (muss eine positive Zahl größer als null sein).
- Wähle die Basis: 10 für den dekadischen Logarithmus, e für den natürlichen Logarithmus (ln), 2 für den binären Logarithmus oder gib eine eigene Basis ein.
- Klicke auf Berechnen, um das Ergebnis sofort zu sehen.
- Für den Antilogarithmus: Gib den Exponenten ein, wähle dieselbe Basis — der Rechner liefert die ursprüngliche Zahl (b^y).
Logarithmusformeln und wichtige Identitäten
Definition: log_b(x) = y bedeutet b^y = x
Dekadischer Log: log(x) = log_10(x)
Natürlicher Log: ln(x) = log_e(x)
Binärer Log: log_2(x)
Basiswechsel: log_b(x) = ln(x) / ln(b)
Antilogarithmus: antilog_10(y) = 10^y
Anti-ln: e^y
Wichtige Identitäten:
log(a × b) = log(a) + log(b)
log(a / b) = log(a) − log(b)
log(a^n) = n × log(a)Besondere Werte: ln(e) = 1, log(10) = 1 und log(1) = 0 für jede Basis. Logarithmen sind nur für positive Zahlen definiert — log(0) und der Logarithmus einer negativen Zahl existieren nicht.
Geröste Beispiele
log₁₀(1000) = 3
Wir fragen: 10 hoch welche Zahl ergibt 1000? Da 10³ = 1000, ist die Antwort 3. Deshalb ergibt der dekadische Logarithmus von Zehnerpotenzen immer eine ganze Zahl.
ln(e²) = 2
Der natürliche Logarithmus kehrt die Exponentialfunktion um. Da ln und e Umkehrfunktionen sind, gilt ln(e²) = 2 exakt. Diese Identität ist grundlegend in der Analysis und bei Differentialgleichungen.
log₂(32) = 5
Wir fragen: 2 hoch welche Zahl ergibt 32? Da 2⁵ = 32, ist die Antwort 5. Der Logarithmus zur Basis 2 ist in der Informatik sehr verbreitet — ein 32-Bit-Adressraum erfordert beispielsweise log₂(2³²) = 32 Bit.