Quadratwurzelrechner
Berechne Quadratwurzeln, Kubikwurzeln und n-te Wurzeln — mit Vereinfachung von Wurzeln
Common Perfect Squares
Root Properties
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Was ist eine Quadratwurzel?
Die Quadratwurzel ist die Umkehroperation des Quadrierens. Wenn du 5 quadrierst erhältst du 25, also ist die Quadratwurzel von 25 gleich 5. Formal gesagt ist √x die Zahl, die mit sich selbst multipliziert x ergibt. Quadratwurzeln tauchen überall im Alltag auf: beim Berechnen der Seite eines Quadrats aus seiner Fläche, beim Anwenden des Satzes des Pythagoras zur Bestimmung diagonaler Abstände, beim Auswerten von Physikformeln wie der Geschwindigkeit aus der kinetischen Energie und beim Berechnen statistischer Maße wie der Standardabweichung.
Nicht alle Quadratwurzeln sind ordentliche ganze Zahlen. Wenn die Zahl unter dem Wurzelzeichen eine perfekte Quadratzahl ist (1, 4, 9, 16, 25…), ist das Ergebnis eine rationale ganze Zahl. Jede andere positive Zahl ergibt eine irrationale Zahl — eine nicht abbrechende, nicht periodische Dezimalzahl wie √2 ≈ 1.41421356… Die Vereinfachung von Wurzeln schreibt diese Ergebnisse in ihrer einfachsten exakten Form, zum Beispiel √72 = 6√2, was in der Algebra nützlicher ist als die rohe Dezimalzahl.
So verwendest du diesen Rechner
- 1Gib die Zahl, von der du die Wurzel berechnen möchtest, in das Eingabefeld ein.
- 2Gib optional den Wurzelexponenten ein — lasse ihn leer oder setze ihn auf 2 für die Quadratwurzel, 3 für die Kubikwurzel oder eine beliebige positive ganze Zahl für die n-te Wurzel.
- 3Klicke auf Berechnen (oder drücke Enter), um das Ergebnis zu berechnen.
- 4Lies die vereinfachte exakte Wurzelform und die vollständige Dezimalannäherung, die unter der Schaltfläche angezeigt werden.
Formeln und Referenz
Quadratwurzel: √x = x^(1/2)
Kubikwurzel: ∛x = x^(1/3)
n-te Wurzel: ⁿ√x = x^(1/n)
Vereinfachung von Wurzeln:
√72 = √(36×2) = 6√2
√50 = √(25×2) = 5√2
Satz des Pythagoras:
c = √(a² + b²)
Beispiel: a=3, b=4 → c = √(9+16) = √25 = 5
Abstandsformel:
d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)Perfekte Quadratzahlen (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100…) haben exakte ganzzahlige Quadratwurzeln. Alle anderen positiven Zahlen haben eine irrationale Zahl als Quadratwurzel — eine Dezimalzahl, die sich niemals wiederholt und niemals endet. Negative Zahlen haben keine reelle Quadratwurzel; ihre Wurzeln sind imaginäre Zahlen, die mit der Einheit i geschrieben werden.
Durchgerechnete Beispiele
Perfekte Quadratzahl vs. irrationale Wurzel
√144 = 12 genau, weil 12 × 12 = 144 — das ist eine perfekte Quadratzahl. Dagegen ist √2 ≈ 1.41421 irrational: kein Bruch kann es exakt ausdrücken, und seine Dezimalentwicklung geht unendlich weiter ohne sich zu wiederholen.
Satz des Pythagoras: Hypotenuse berechnen
Ein rechtwinkliges Dreieck hat Katheten der Länge 5 und 12. Die Hypotenuse c = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13. Da 169 eine perfekte Quadratzahl ist, ist die Antwort eine ganze Zahl — ein klassisches pythagoräisches Tripel.
Vereinfachung einer Wurzel: √180
Faktorisiere 180 mit dem größten perfekten Quadratfaktor: 180 = 36 × 5. Dann √180 = √36 × √5 = 6√5. In Dezimalform: 6√5 ≈ 6 × 2.2361 ≈ 13.416. Die vereinfachte Wurzelform 6√5 ist exakt und in der Algebra wesentlich nützlicher.