Calculadora de Raiz Quadrada

Calcule raízes quadradas, cúbicas e raízes n-ésimas — com simplificação de radicais

Root Calculator
Root Reference

Common Perfect Squares

1² = 1, √1 = 1
2² = 4, √4 = 2
3² = 9, √9 = 3
4² = 16, √16 = 4
5² = 25, √25 = 5
10² = 100, √100 = 10

Root Properties

√(a × b) = √a × √b
√(a/b) = √a / √b
√a² = |a|
∛(-a) = -∛a
ⁿ√aᵐ = a^(m/n)
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O que é uma raiz quadrada?

A raiz quadrada é a operação inversa de elevar ao quadrado. Se você eleva 5 ao quadrado obtém 25, então a raiz quadrada de 25 é 5. Formalmente, √x é o número que, multiplicado por si mesmo, resulta em x. As raízes quadradas aparecem em todo lugar: para calcular o lado de um quadrado a partir de sua área, aplicar o teorema de Pitágoras para encontrar distâncias diagonais, avaliar fórmulas de física como velocidade a partir de energia cinética, e calcular medidas estatísticas como o desvio padrão.

Nem todas as raízes quadradas são números inteiros organizados. Quando o número sob o radical é um quadrado perfeito (1, 4, 9, 16, 25…) o resultado é um inteiro racional. Qualquer outro número positivo produz uma raiz quadrada irracional — um decimal não periódico e infinito como √2 ≈ 1.41421356… A simplificação de radicais reescreve esses resultados na sua forma exata mais simples, por exemplo √72 = 6√2, que é mais útil em álgebra do que o decimal aproximado.

Como usar esta calculadora

  1. 1Insira o número do qual deseja calcular a raiz no campo de entrada.
  2. 2Opcionalmente, insira o índice da raiz — deixe em branco ou coloque 2 para raiz quadrada, 3 para raiz cúbica, ou qualquer inteiro positivo para raiz n-ésima.
  3. 3Clique em Calcular (ou pressione Enter) para obter o resultado.
  4. 4Leia a forma radical exata simplificada e a aproximação decimal completa exibida abaixo do botão.

Fórmulas e referência

Raiz quadrada: √x = x^(1/2) Raiz cúbica: ∛x = x^(1/3) Raiz n-ésima: ⁿ√x = x^(1/n) Simplificação de radicais: √72 = √(36×2) = 6√2 √50 = √(25×2) = 5√2 Teorema de Pitágoras: c = √(a² + b²) Exemplo: a=3, b=4 → c = √(9+16) = √25 = 5 Fórmula da distância: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)

Os quadrados perfeitos (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100…) têm raízes quadradas inteiras exatas. Todos os outros números positivos têm uma raiz quadrada irracional — um decimal que nunca se repete nem termina. Números negativos não têm raiz quadrada real; suas raízes são números imaginários escritos com a unidade i.

Exemplos resolvidos

Quadrado perfeito vs. raiz irracional

√144 = 12 exatamente, porque 12 × 12 = 144 — isso é um quadrado perfeito. Já √2 ≈ 1.41421 é irracional: nenhuma fração pode expressá-lo exatamente e sua expansão decimal continua sem se repetir.

Teorema de Pitágoras: encontrar a hipotenusa

Um triângulo retângulo tem catetos de comprimento 5 e 12. A hipotenusa c = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13. Como 169 é um quadrado perfeito, a resposta é um número inteiro — uma terna pitagórica clássica.

Simplificação de radical: √180

Fatore 180 pelo maior fator quadrado perfeito: 180 = 36 × 5. Então √180 = √36 × √5 = 6√5. Em forma decimal, 6√5 ≈ 6 × 2.2361 ≈ 13.416. A forma radical simplificada 6√5 é exata e muito mais útil em trabalhos algébricos.

Perguntas frequentes

É possível calcular a raiz quadrada de um número negativo?▾
Não dentro do sistema dos números reais. A raiz quadrada de um número negativo é um número imaginário. Por exemplo, √(−1) = i, onde i é a unidade imaginária. Os números complexos da forma a + bi estendem os reais para incluir essas raízes e são indispensáveis em engenharia elétrica, processamento de sinais e matemática avançada.
Qual é a diferença entre √4 = 2 e ±2?▾
O símbolo de raiz quadrada √ (chamado de raiz quadrada principal) sempre retorna o resultado não negativo, portanto √4 = 2 por definição. A equação x² = 4 tem duas soluções, x = 2 e x = −2, o que se escreve ±2. Ao resolver equações você considera ambos os sinais; ao avaliar √4 como expressão, a resposta é apenas a raiz positiva.
Como calcular uma raiz quadrada à mão?▾
O método babilônico (ou de Heron) é o mais prático. Para calcular √N: comece com uma estimativa inicial g (por exemplo, g = N/2). Aplique repetidamente a atualização g = (g + N/g) / 2 até o valor parar de mudar. Por exemplo, √10 com g₀ = 3: g₁ = (3 + 10/3)/2 = 3.1667, g₂ ≈ 3.1623. Com duas iterações já se obtém precisão de cinco dígitos.
O que é um quadrado perfeito?▾
Um quadrado perfeito é um inteiro que é o quadrado de outro inteiro. A sequência é 1 (1²), 4 (2²), 9 (3²), 16 (4²), 25 (5²), 36, 49, 64, 81, 100, e assim por diante. Suas raízes quadradas são números inteiros sem decimais. Reconhecer rapidamente os quadrados perfeitos — especialmente até 20² = 400 — é uma habilidade valiosa de cálculo mental.
O que são números imaginários?▾
Os números imaginários surgem quando se calcula a raiz quadrada de um número negativo. A unidade imaginária fundamental é i = √(−1), portanto i² = −1. Um número complexo combina uma parte real e uma parte imaginária: por exemplo 3 + 4i. Os números complexos não são apenas curiosidades abstratas — são indispensáveis na análise de circuitos de corrente alternada, mecânica quântica e transformadas de Fourier.